sin(8*x)<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(8*x)<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(8*x) < 0

$$\sin{\left(8 x \right)} < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(8 x \right)} < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(8 x \right)} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(8 x \right)} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

с изменением знака при 0

Получим:
$$\sin{\left(8 x \right)} = 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$8 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(0 \right)}$$
$$8 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(0 \right)} + \pi$$
Или
$$8 x = 2 \pi n$$
$$8 x = 2 \pi n + \pi$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$8$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{8}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{8}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi n}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{8}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{4} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(8 x \right)} < 0$$
$$\sin{\left(8 \left(\frac{\pi n}{4} - \frac{1}{10}\right) \right)} < 0$$

-sin(4/5) < 0

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{\pi n}{4}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \frac{\pi n}{4}$$
$$x > \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{8}$$

Быстрый ответ

   /pi          pi\
And|-- < x, x < --|
   \8           4 /

$$\frac{\pi}{8} < x \wedge x < \frac{\pi}{4}$$

Быстрый ответ 2

 pi  pi 
(--, --)
 8   4  

$$x\ in\ \left(\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{4}\right)$$

График