sin(x)>2/3 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(x)>2/3 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(x) > 2/3

$$\sin{\left(x \right)} > \frac{2}{3}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(x \right)} > \frac{2}{3}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(x \right)} = \frac{2}{3}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = \frac{2}{3}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(x \right)} > \frac{2}{3}$$
$$\sin{\left(2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} \right)} > \frac{2}{3}$$

-sin(1/10 - asin(2/3)) > 2/3

Тогда
$$x < 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} \wedge x < 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

   /             /    ___\      /    ___\    \
   |             |2*\/ 5 |      |2*\/ 5 |    |
And|x < pi - atan|-------|, atan|-------| < x|
   \             \   5   /      \   5   /    /

$$x < \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \right)} \wedge \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \right)} < x$$

Быстрый ответ 2

     /    ___\           /    ___\ 
     |2*\/ 5 |           |2*\/ 5 | 
(atan|-------|, pi - atan|-------|)
     \   5   /           \   5   / 

$$x\ in\ \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \right)}, \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \right)}\right)$$

График