sin(x)>cos(x)^2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(x)>cos(x)^2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

            2   
sin(x) > cos (x)

$$\sin{\left(x \right)} > \cos^{2}{\left(x \right)}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(x \right)} > \cos^{2}{\left(x \right)}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)}$$
преобразуем
$$\sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (-1) = 5

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 - \sqrt{5}}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 - \sqrt{5}}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Данные корни
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(x \right)} > \cos^{2}{\left(x \right)}$$
$$\sin{\left(- \frac{1}{10} + 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} \right)} > \cos^{2}{\left(- \frac{1}{10} + 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} \right)}$$

    /           /                     ___________\\       /           /                     ___________\\
    |           |      ___     ___   /       ___ ||       |           |      ___     ___   /       ___ ||
    |1          |1   \/ 5    \/ 2 *\/  1 + \/ 5  || >    2|1          |1   \/ 5    \/ 2 *\/  1 + \/ 5  ||
-sin|-- - 2*atan|- + ----- - --------------------||   cos |-- - 2*atan|- + ----- - --------------------||
    \10         \2     2              2          //       \10         \2     2              2          //

Тогда
$$x < 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} \wedge x < 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Быстрый ответ

   /             /         ____________\      /         ____________\    \
   |             |  ___   /        ___ |      |  ___   /        ___ |    |
   |             |\/ 2 *\/  -1 + \/ 5  |      |\/ 2 *\/  -1 + \/ 5  |    |
And|x < pi - atan|---------------------|, atan|---------------------| < x|
   \             \          2          /      \          2          /    /

$$x < \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{-1 + \sqrt{5}}}{2} \right)} \wedge \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{-1 + \sqrt{5}}}{2} \right)} < x$$

Быстрый ответ 2

     /         ____________\           /         ____________\ 
     |  ___   /        ___ |           |  ___   /        ___ | 
     |\/ 2 *\/  -1 + \/ 5  |           |\/ 2 *\/  -1 + \/ 5  | 
(atan|---------------------|, pi - atan|---------------------|)
     \          2          /           \          2          / 

$$x\ in\ \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{-1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}, \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{-1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}\right)$$

График