sin(x)>-1/4 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(x)>-1/4 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(x) > -1/4

$$\sin{\left(x \right)} > - \frac{1}{4}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(x \right)} > - \frac{1}{4}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(x \right)} = - \frac{1}{4}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = - \frac{1}{4}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{4} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{4} \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)}$$
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)} + \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)} + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(x \right)} > - \frac{1}{4}$$
$$\sin{\left(2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)} - \frac{1}{10} \right)} > - \frac{1}{4}$$

-sin(1/10 + asin(1/4)) > -1/4

Тогда
$$x < 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)} \wedge x < 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)} + \pi$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Быстрый ответ

  /   /                     /  ____\\     /                /  ____\           \\
  |   |                     |\/ 15 ||     |                |\/ 15 |           ||
Or|And|0 <= x, x < pi + atan|------||, And|x < 2*pi, - atan|------| + 2*pi < x||
  \   \                     \  15  //     \                \  15  /           //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)} + \pi\right) \vee \left(x < 2 \pi \wedge - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)} + 2 \pi < x\right)$$

Быстрый ответ 2

             /  ____\           /  ____\              
             |\/ 15 |           |\/ 15 |              
[0, pi + atan|------|) U (- atan|------| + 2*pi, 2*pi)
             \  15  /           \  15  /              

$$x\ in\ \left[0, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)} + \pi\right) \cup \left(- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)} + 2 \pi, 2 \pi\right)$$

График