sin(x)>-1/2 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: sin(x)>-1/2 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
    sin(x) > -1/2
    sin(x)>12\sin{\left(x \right)} > - \frac{1}{2}
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    sin(x)>12\sin{\left(x \right)} > - \frac{1}{2}
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    sin(x)=12\sin{\left(x \right)} = - \frac{1}{2}
    Решаем:
    Дано уравнение
    sin(x)=12\sin{\left(x \right)} = - \frac{1}{2}
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    x=2πn+asin(12)x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}
    x=2πnasin(12)+πx = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi
    Или
    x=2πnπ6x = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}
    x=2πn+7π6x = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}
    , где n - любое целое число
    x1=2πnπ6x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}
    x2=2πn+7π6x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}
    x1=2πnπ6x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}
    x2=2πn+7π6x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}
    Данные корни
    x1=2πnπ6x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}
    x2=2πn+7π6x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    x0<x1x_{0} < x_{1}
    Возьмём например точку
    x0=x1110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
    =
    (2πnπ6)110\left(2 \pi n - \frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{10}
    =
    2πnπ61102 \pi n - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}
    подставляем в выражение
    sin(x)>12\sin{\left(x \right)} > - \frac{1}{2}
    sin(2πnπ6110)>12\sin{\left(2 \pi n - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10} \right)} > - \frac{1}{2}
        /1    pi\       
    -sin|-- + --| > -1/2
        \10   6 /       

    Тогда
    x<2πnπ6x < 2 \pi n - \frac{\pi}{6}
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    x>2πnπ6x<2πn+7π6x > 2 \pi n - \frac{\pi}{6} \wedge x < 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x_1      x_2
    Решение неравенства на графике
    0-60-50-40-30-20-101020304050602-2
    Быстрый ответ [src]
      /   /            7*pi\     /11*pi              \\
    Or|And|0 <= x, x < ----|, And|----- < x, x < 2*pi||
      \   \             6  /     \  6                //
    (0xx<7π6)(11π6<xx<2π)\left(0 \leq x \wedge x < \frac{7 \pi}{6}\right) \vee \left(\frac{11 \pi}{6} < x \wedge x < 2 \pi\right)
    Быстрый ответ 2 [src]
        7*pi     11*pi       
    [0, ----) U (-----, 2*pi)
         6         6         
    x in [0,7π6)(11π6,2π)x\ in\ \left[0, \frac{7 \pi}{6}\right) \cup \left(\frac{11 \pi}{6}, 2 \pi\right)
    График
    sin(x)>-1/2 (неравенство) /media/krcore-image-pods/hash/inequation/e/f7/b4cc18690e7cc058334df82edc289.png