sin(x)>1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(x)>1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(x) > 1/2

$$\sin{\left(x \right)} > \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(x \right)} > \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n + \frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(x \right)} > \frac{1}{2}$$
$$\sin{\left(2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6} \right)} > \frac{1}{2}$$

   /1    pi\      
cos|-- + --| > 1/2
   \10   3 /      

Тогда
$$x < 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 \pi n + \frac{\pi}{6} \wedge x < 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Быстрый ответ

   /pi          5*pi\
And|-- < x, x < ----|
   \6            6  /

$$\frac{\pi}{6} < x \wedge x < \frac{5 \pi}{6}$$

Быстрый ответ 2

 pi  5*pi 
(--, ----)
 6    6   

$$x\ in\ \left(\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right)$$

График