sin(x)>1/8 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(x)>1/8 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(x) > 1/8

$$\sin{\left (x \right )} > \frac{1}{8}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left (x \right )} > \frac{1}{8}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (x \right )} = \frac{1}{8}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = \frac{1}{8}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{8} \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{8} \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{8} \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{8} \right )} + \pi$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{8} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{8} \right )} + \pi$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{8} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{8} \right )} + \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{8} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{8} \right )} + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{8} \right )} + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{8} \right )}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (x \right )} > \frac{1}{8}$$
$$\sin{\left (2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{8} \right )} + - \frac{1}{10} \right )} > \frac{1}{8}$$

sin(-1/10 + 2*pi*n + asin(1/8)) > 1/8

Тогда
$$x < 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{8} \right )}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{8} \right )} \wedge x < 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{8} \right )} + \pi$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

And(x < pi - asin(1/8), asin(1/8) < x)

$$x < - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{8} \right )} + \pi \wedge \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{8} \right )} < x$$

Быстрый ответ 2

(asin(1/8), pi - asin(1/8))

$$x \in \left(\operatorname{asin}{\left (\frac{1}{8} \right )}, - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{8} \right )} + \pi\right)$$

График