sin(x/2)>=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(x/2)>=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   /x\     
sin|-| >= 0
   \2/     

$$\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} \geq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

с изменением знака при 0

Получим:
$$\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} = 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (0 \right )}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (0 \right )} + \pi$$
Или
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \pi$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 4 \pi n$$
$$x_{2} = 4 \pi n + 2 \pi$$
$$x_{1} = 4 \pi n$$
$$x_{2} = 4 \pi n + 2 \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 4 \pi n$$
$$x_{2} = 4 \pi n + 2 \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n + - \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} \geq 0$$
$$\sin{\left (\frac{1}{2} \left(4 \pi n + - \frac{1}{10}\right) \right )} \geq 0$$

sin(-1/20 + 2*pi*n) >= 0

но

sin(-1/20 + 2*pi*n) < 0

Тогда
$$x \leq 4 \pi n$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq 4 \pi n \wedge x \leq 4 \pi n + 2 \pi$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2

Быстрый ответ

And(0 <= x, x < oo)

$$0 \leq x \wedge x < \infty$$

Быстрый ответ 2

[0, oo)

$$x \in \left[0, \infty\right)$$