sin(x)<=cos(x) (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(x)<=cos(x) (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(x) <= cos(x)

$$\sin{\left(x \right)} \leq \cos{\left(x \right)}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(x \right)} \leq \cos{\left(x \right)}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$
преобразуем:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = 1$$
или
$$\tan{\left(x \right)} = 1$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(-1 \right)}$$
Или
$$x = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n - \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(x \right)} \leq \cos{\left(x \right)}$$
$$\sin{\left(\pi n - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} \leq \cos{\left(\pi n - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)}$$

     n    /1    pi\        n    /1    pi\
-(-1) *sin|-- + --| <= (-1) *cos|-- + --|
          \10   4 /             \10   4 /

но

     n    /1    pi\        n    /1    pi\
-(-1) *sin|-- + --| >= (-1) *cos|-- + --|
          \10   4 /             \10   4 /

Тогда
$$x \leq \pi n - \frac{\pi}{4}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq \pi n - \frac{\pi}{4}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1

Быстрый ответ

  /   /             pi\     /5*pi               \\
Or|And|0 <= x, x <= --|, And|---- <= x, x < 2*pi||
  \   \             4 /     \ 4                 //

$$\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{\pi}{4}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{4} \leq x \wedge x < 2 \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     5*pi       
[0, --] U [----, 2*pi)
    4       4         

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi\right)$$

График