sin(x)<=1/5 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(x)<=1/5 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(x) <= 1/5

$$\sin{\left(x \right)} \leq \frac{1}{5}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(x \right)} \leq \frac{1}{5}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(x \right)} = \frac{1}{5}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = \frac{1}{5}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)} + \pi$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)} + \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)} + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(x \right)} \leq \frac{1}{5}$$
$$\sin{\left(2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)} \right)} \leq \frac{1}{5}$$

-sin(1/10 - asin(1/5)) <= 1/5

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
$$x \geq 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)} + \pi$$

Быстрый ответ

  /   /                 /  ___\\     /         /  ___\               \\
  |   |                 |\/ 6 ||     |         |\/ 6 |               ||
Or|And|0 <= x, x <= atan|-----||, And|pi - atan|-----| <= x, x < 2*pi||
  \   \                 \  12 //     \         \  12 /               //

$$\left(0 \leq x \wedge x \leq \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{12} \right)}\right) \vee \left(\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{12} \right)} \leq x \wedge x < 2 \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

        /  ___\              /  ___\       
        |\/ 6 |              |\/ 6 |       
[0, atan|-----|] U [pi - atan|-----|, 2*pi)
        \  12 /              \  12 /       

$$x\ in\ \left[0, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{12} \right)}\right] \cup \left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{12} \right)}, 2 \pi\right)$$

График