sin(x)<=tan(x) (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(x)<=tan(x) (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(x) <= tan(x)

$$\sin{\left(x \right)} \leq \tan{\left(x \right)}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(x \right)} \leq \tan{\left(x \right)}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$$
Решаем:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \pi$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \pi$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi$$
Данные корни
$$x_{2} = - \pi$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \pi - \frac{1}{10}$$
=
$$- \pi - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(x \right)} \leq \tan{\left(x \right)}$$
$$\sin{\left(- \pi - \frac{1}{10} \right)} \leq \tan{\left(- \pi - \frac{1}{10} \right)}$$

sin(1/10) <= -tan(1/10)

но

sin(1/10) >= -tan(1/10)

Тогда
$$x \leq - \pi$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \pi \wedge x \leq 0$$

         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------•-------•-------•-------•-------
       x2      x1      x3      x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq - \pi \wedge x \leq 0$$
$$x \geq \pi \wedge x \leq 2 \pi$$

Быстрый ответ 2

    pi         3*pi 
[0, --) U [pi, ----)
    2           2   

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left[\pi, \frac{3 \pi}{2}\right)$$

Быстрый ответ

  /   /            pi\     /             3*pi\\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|pi <= x, x < ----||
  \   \            2 /     \              2  //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{2}\right) \vee \left(\pi \leq x \wedge x < \frac{3 \pi}{2}\right)$$

График