sin(x)<-2/3 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(x)<-2/3 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(x) < -2/3

$$\sin{\left(x \right)} < - \frac{2}{3}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(x \right)} < - \frac{2}{3}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(x \right)} = - \frac{2}{3}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = - \frac{2}{3}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{2}{3} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{2}{3} \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(x \right)} < - \frac{2}{3}$$
$$\sin{\left(2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} - \frac{1}{10} \right)} < - \frac{2}{3}$$

-sin(1/10 + asin(2/3)) < -2/3

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x > 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$

Быстрый ответ

   /          /    ___\                  /    ___\    \
   |          |2*\/ 5 |                  |2*\/ 5 |    |
And|x < - atan|-------| + 2*pi, pi + atan|-------| < x|
   \          \   5   /                  \   5   /    /

$$x < - \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \right)} + 2 \pi \wedge \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \right)} + \pi < x$$

Быстрый ответ 2

          /    ___\        /    ___\        
          |2*\/ 5 |        |2*\/ 5 |        
(pi + atan|-------|, - atan|-------| + 2*pi)
          \   5   /        \   5   /        

$$x\ in\ \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \right)} + \pi, - \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \right)} + 2 \pi\right)$$

График