sin(x)<-1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(x)<-1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(x) < -1/2

$$\sin{\left(x \right)} < - \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(x \right)} < - \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(x \right)} = - \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = - \frac{1}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n - \frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(x \right)} < - \frac{1}{2}$$
$$\sin{\left(2 \pi n - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10} \right)} < - \frac{1}{2}$$

    /1    pi\       
-sin|-- + --| < -1/2
    \10   6 /       

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x > 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$

Быстрый ответ

   /7*pi          11*pi\
And|---- < x, x < -----|
   \ 6              6  /

$$\frac{7 \pi}{6} < x \wedge x < \frac{11 \pi}{6}$$

Быстрый ответ 2

 7*pi  11*pi 
(----, -----)
  6      6   

$$x\ in\ \left(\frac{7 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}\right)$$

График