sin(x)<1/4 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(x)<1/4 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(x) < 1/4

$$\sin{\left(x \right)} < \frac{1}{4}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(x \right)} < \frac{1}{4}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(x \right)} = \frac{1}{4}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = \frac{1}{4}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)} + \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)} + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(x \right)} < \frac{1}{4}$$
$$\sin{\left(2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)} \right)} < \frac{1}{4}$$

-sin(1/10 - asin(1/4)) < 1/4

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)}$$
$$x > 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)} + \pi$$

Быстрый ответ

  /   /                /  ____\\     /                   /  ____\    \\
  |   |                |\/ 15 ||     |                   |\/ 15 |    ||
Or|And|0 <= x, x < atan|------||, And|x < 2*pi, pi - atan|------| < x||
  \   \                \  15  //     \                   \  15  /    //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}\right) \vee \left(x < 2 \pi \wedge \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)} < x\right)$$

Быстрый ответ 2

        /  ____\              /  ____\       
        |\/ 15 |              |\/ 15 |       
[0, atan|------|) U (pi - atan|------|, 2*pi)
        \  15  /              \  15  /       

$$x\ in\ \left[0, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}\right) \cup \left(\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}, 2 \pi\right)$$

График