sin(x)-cos(x)<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(x)-cos(x)<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(x) - cos(x) < 0

$$\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
преобразуем:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = 1$$
или
$$\tan{\left(x \right)} = 1$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(-1 \right)}$$
Или
$$x = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n - \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} < 0$$
$$\sin{\left(\pi n - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} - \cos{\left(\pi n - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} < 0$$

      n    /1    pi\       n    /1    pi\    
- (-1) *cos|-- + --| - (-1) *sin|-- + --| < 0
           \10   4 /            \10   4 /    

но

      n    /1    pi\       n    /1    pi\    
- (-1) *cos|-- + --| - (-1) *sin|-- + --| > 0
           \10   4 /            \10   4 /    

Тогда
$$x < \pi n - \frac{\pi}{4}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > \pi n - \frac{\pi}{4}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x_1

Быстрый ответ

  /   /            pi\     /5*pi              \\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|---- < x, x < 2*pi||
  \   \            4 /     \ 4                //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{4}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{4} < x \wedge x < 2 \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     5*pi       
[0, --) U (----, 2*pi)
    4       4         

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi\right)$$

График