sin(x)+cos(x)<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(x)+cos(x)<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(x) + cos(x) < 0

$$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
преобразуем:
$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} = -1$$
или
$$\tan{\left (x \right )} = -1$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left (1 \right )}$$
Или
$$x = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n + \frac{\pi}{4} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} < 0$$
$$\sin{\left (\pi n + \frac{\pi}{4} + - \frac{1}{10} \right )} + \cos{\left (\pi n + \frac{\pi}{4} + - \frac{1}{10} \right )} < 0$$

   /  1    pi       \      /  1    pi       \    
cos|- -- + -- + pi*n| + sin|- -- + -- + pi*n| < 0
   \  10   4        /      \  10   4        /    

значит решение неравенства будет при:
$$x < \pi n + \frac{\pi}{4}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

  /   /             -pi \     /3*pi            \\
Or|And|-oo < x, x < ----|, And|---- < x, x < oo||
  \   \              4  /     \ 4              //

$$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{\pi}{4}\right) \vee \left(\frac{3 \pi}{4} < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

      -pi      3*pi     
(-oo, ----) U (----, oo)
       4        4       

$$x \in \left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$