sin(x)+1>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(x)+1>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(x) + 1 > 0

$$\sin{\left (x \right )} + 1 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left (x \right )} + 1 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} + 1 = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

Перенесём 1 в правую часть ур-ния

с изменением знака при 1

Получим:
$$\sin{\left (x \right )} = -1$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (-1 \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (-1 \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

  pi            1 
- -- + 2*pi*n - --
  2             10

=
$$2 \pi n - \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (x \right )} + 1 > 0$$

   /  pi            1 \        
sin|- -- + 2*pi*n - --| + 1 > 0
   \  2             10/        

1 - cos(-1/10 + 2*pi*n) > 0

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x > 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$

Быстрый ответ

  /   /             -pi \     /-pi           3*pi\     /3*pi            \\
Or|And|-oo < x, x < ----|, And|---- < x, x < ----|, And|---- < x, x < oo||
  \   \              2  /     \ 2             2  /     \ 2              //

$$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{\pi}{2}\right) \vee \left(- \frac{\pi}{2} < x \wedge x < \frac{3 \pi}{2}\right) \vee \left(\frac{3 \pi}{2} < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

      -pi      -pi   3*pi     3*pi     
(-oo, ----) U (----, ----) U (----, oo)
       2        2     2        2       

$$x \in \left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(- \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$

График