sin(x)+1/2>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(x)+1/2>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(x) + 1/2 > 0

$$\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

Перенесём 1/2 в правую часть ур-ния

с изменением знака при 1/2

Получим:
$$\sin{\left (x \right )} = - \frac{1}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

  pi            1 
- -- + 2*pi*n - --
  6             10

=
$$2 \pi n - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} > 0$$

   /  pi            1 \   1    
sin|- -- + 2*pi*n - --| + - > 0
   \  6             10/   2    

1      /1    pi         \    
- - sin|-- + -- - 2*pi*n| > 0
2      \10   6          /    

Тогда
$$x < 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 \pi n - \frac{\pi}{6} \wedge x < 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

  /   /-pi           7*pi\     /7*pi            \\
Or|And|---- < x, x < ----|, And|---- < x, x < oo||
  \   \ 6             6  /     \ 6              //

$$\left(- \frac{\pi}{6} < x \wedge x < \frac{7 \pi}{6}\right) \vee \left(\frac{7 \pi}{6} < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

 -pi   7*pi     7*pi     
(----, ----) U (----, oo)
  6     6        6       

$$x \in \left(- \frac{\pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}\right) \cup \left(\frac{7 \pi}{6}, \infty\right)$$

График