sin(x)^2>=1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(x)^2>=1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   2        
sin (x) >= 1

$$\sin^{2}{\left(x \right)} \geq 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} \geq 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left(x \right)} = 1$$
преобразуем
$$- \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 1$$
Упростить
$$w_{2} = -1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(1 \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(1 \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(-1 \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin^{2}{\left(x \right)} \geq 1$$
$$\sin^{2}{\left(- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10} \right)} \geq 1$$

   2           
cos (1/10) >= 1
     

но

   2          
cos (1/10) < 1
    

Тогда
$$x \leq - \frac{\pi}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \frac{\pi}{2} \wedge x \leq \frac{\pi}{2}$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x1      x2      x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq - \frac{\pi}{2} \wedge x \leq \frac{\pi}{2}$$
$$x \geq \frac{3 \pi}{2}$$

Быстрый ответ

  /    pi      3*pi\
Or|x = --, x = ----|
  \    2        2  /

$$x = \frac{\pi}{2} \vee x = \frac{3 \pi}{2}$$

Быстрый ответ 2

 pi  3*pi 
{--, ----}
 2    2   

$$x\ in\ \left\{\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right\}$$

График