sin(x)^2<1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(x)^2<1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   2       
sin (x) < 1

$$\sin^{2}{\left (x \right )} < 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin^{2}{\left (x \right )} < 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin^{2}{\left (x \right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left (x \right )} = 1$$
преобразуем
$$- \cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
$$\sin^{2}{\left (x \right )} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 1$$
$$w_{2} = -1$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (1 \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (-1 \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (1 \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (-1 \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

  pi   1 
- -- - --
  2    10

=
$$- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin^{2}{\left (x \right )} < 1$$

   2/  pi   1 \    
sin |- -- - --| < 1
    \  2    10/    

   2          
cos (1/10) < 1
    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - \frac{\pi}{2}$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - \frac{\pi}{2}$$
$$x > \frac{\pi}{2} \wedge x < \frac{3 \pi}{2}$$

Быстрый ответ

  /   /             -pi \     /-pi           pi\     /pi          3*pi\     /3*pi            \\
Or|And|-oo < x, x < ----|, And|---- < x, x < --|, And|-- < x, x < ----|, And|---- < x, x < oo||
  \   \              2  /     \ 2            2 /     \2            2  /     \ 2              //

$$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{\pi}{2}\right) \vee \left(- \frac{\pi}{2} < x \wedge x < \frac{\pi}{2}\right) \vee \left(\frac{\pi}{2} < x \wedge x < \frac{3 \pi}{2}\right) \vee \left(\frac{3 \pi}{2} < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

      -pi      -pi   pi     pi  3*pi     3*pi     
(-oo, ----) U (----, --) U (--, ----) U (----, oo)
       2        2    2      2    2        2       

$$x \in \left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$

График