sin(x)^3>-1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(x)^3>-1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   3        
sin (x) > -1

$$\sin^{3}{\left (x \right )} > -1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin^{3}{\left (x \right )} > -1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin^{3}{\left (x \right )} = -1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin^{3}{\left (x \right )} = -1$$
преобразуем
$$\sin^{3}{\left (x \right )} + 1 = 0$$
$$\sin^{3}{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Дано уравнение
$$w^{3} + 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{w^{3}} = \sqrt[3]{-1}$$
или
$$w = \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

w = -1^1/3

Получим ответ: w = (-1)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = w$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = -1$$
значит
$$\cos{\left (3 p \right )} = -1$$
и
$$\sin{\left (3 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{3} N + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = w$$
$$w = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$w_{1} = -1$$
$$w_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\sqrt[3]{-1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\sqrt[3]{-1} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left (\sqrt[3]{-1} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left (\sqrt[3]{-1} \right )}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right )}$$
$$x_{4} = \pi - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right )}$$
$$x_{5} = \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right )}$$
$$x_{6} = \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right )}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

  pi   1 
- -- - --
  2    10

=
$$- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin^{3}{\left (x \right )} > -1$$

   3/  pi   1 \     
sin |- -- - --| > -1
    \  2    10/     

    3           
-cos (1/10) > -1
     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - \frac{\pi}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - \frac{\pi}{2}$$
$$x > \frac{3 \pi}{2}$$

Быстрый ответ

  /   /             -pi \     /-pi           3*pi\     /3*pi            \\
Or|And|-oo < x, x < ----|, And|---- < x, x < ----|, And|---- < x, x < oo||
  \   \              2  /     \ 2             2  /     \ 2              //

$$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{\pi}{2}\right) \vee \left(- \frac{\pi}{2} < x \wedge x < \frac{3 \pi}{2}\right) \vee \left(\frac{3 \pi}{2} < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

      -pi      -pi   3*pi     3*pi     
(-oo, ----) U (----, ----) U (----, oo)
       2        2     2        2       

$$x \in \left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(- \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$