tan(pi/6+x/7)>=1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: tan(pi/6+x/7)>=1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   /pi   x\     
tan|-- + -| >= 1
   \6    7/     

$$\tan{\left(\frac{x}{7} + \frac{\pi}{6} \right)} \geq 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\tan{\left(\frac{x}{7} + \frac{\pi}{6} \right)} \geq 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\tan{\left(\frac{x}{7} + \frac{\pi}{6} \right)} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\tan{\left(\frac{x}{7} + \frac{\pi}{6} \right)} = 1$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$\frac{x}{7} + \frac{\pi}{6} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(1 \right)}$$
Или
$$\frac{x}{7} + \frac{\pi}{6} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
, где n - любое целое число
Перенесём
$$\frac{\pi}{6}$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$\frac{x}{7} = \pi n + \frac{\pi}{12}$$
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$\frac{1}{7}$$
$$x_{1} = 7 \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
$$x_{1} = 7 \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
Данные корни
$$x_{1} = 7 \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(7 \pi n + \frac{7 \pi}{12}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$7 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{7 \pi}{12}$$
подставляем в выражение
$$\tan{\left(\frac{x}{7} + \frac{\pi}{6} \right)} \geq 1$$
$$\tan{\left(\frac{7 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{7 \pi}{12}}{7} + \frac{\pi}{6} \right)} \geq 1$$

   /1    pi\     
cot|-- + --| >= 1
   \70   4 /     

но

   /1    pi\    
cot|-- + --| < 1
   \70   4 /    

Тогда
$$x \leq 7 \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq 7 \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x_1

Быстрый ответ

   /      /  ___     ___\               \
   |      |\/ 6  - \/ 2 |           7*pi|
And|7*atan|-------------| <= x, x < ----|
   |      |  ___     ___|            3  |
   \      \\/ 2  + \/ 6 /               /

$$7 \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)} \leq x \wedge x < \frac{7 \pi}{3}$$

Быстрый ответ 2

        /  ___     ___\       
        |\/ 2  - \/ 6 |  7*pi 
[-7*atan|-------------|, ----)
        |  ___     ___|   3   
        \\/ 2  + \/ 6 /       

$$x\ in\ \left[- 7 \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)}, \frac{7 \pi}{3}\right)$$

График