tan(2*x)<=1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: tan(2*x)<=1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

tan(2*x) <= 1

$$\tan{\left(2 x \right)} \leq 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\tan{\left(2 x \right)} \leq 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\tan{\left(2 x \right)} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\tan{\left(2 x \right)} = 1$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(1 \right)}$$
Или
$$2 x = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}$$
подставляем в выражение
$$\tan{\left(2 x \right)} \leq 1$$
$$\tan{\left(2 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}\right) \right)} \leq 1$$

   /1   pi\     
cot|- + --| <= 1
   \5   4 /     

значит решение неравенства будет при:
$$x \leq \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x1

Быстрый ответ

  /   /             pi\     /pi          pi\\
Or|And|0 <= x, x <= --|, And|-- < x, x < --||
  \   \             8 /     \4           2 //

$$\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{\pi}{8}\right) \vee \left(\frac{\pi}{4} < x \wedge x < \frac{\pi}{2}\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     pi  pi 
[0, --] U (--, --)
    8      4   2  

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{8}\right] \cup \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$$

График