tan(5*x)<1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: tan(5*x)<1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

tan(5*x) < 1

$$\tan{\left (5 x \right )} < 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\tan{\left (5 x \right )} < 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\tan{\left (5 x \right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\tan{\left (5 x \right )} = 1$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$5 x = \pi n + \operatorname{atan}{\left (1 \right )}$$
Или
$$5 x = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$5$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{20}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{20}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{20}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{20} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{5} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{20}$$
подставляем в выражение
$$\tan{\left (5 x \right )} < 1$$
$$\tan{\left (5 \left(\frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{20} + - \frac{1}{10}\right) \right )} < 1$$

   /  1   pi       \    
tan|- - + -- + pi*n| < 1
   \  2   4        /    

значит решение неравенства будет при:
$$x < \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{20}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

   /             pi\
And|-oo < x, x < --|
   \             20/

$$-\infty < x \wedge x < \frac{\pi}{20}$$

Быстрый ответ 2

      pi 
(-oo, --)
      20 

$$x \in \left(-\infty, \frac{\pi}{20}\right)$$

График