tan(x)>sin(x) (неравенство)

Укажите решение неравенства: tan(x)>sin(x) (множество решений неравенства)

Вы ввели

tan(x) > sin(x)

$$\tan{\left(x \right)} > \sin{\left(x \right)}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\tan{\left(x \right)} > \sin{\left(x \right)}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\tan{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$$
Решаем:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \pi$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \pi$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi$$
Данные корни
$$x_{2} = - \pi$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \pi - \frac{1}{10}$$
=
$$- \pi - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\tan{\left(x \right)} > \sin{\left(x \right)}$$
$$\tan{\left(- \pi - \frac{1}{10} \right)} > \sin{\left(- \pi - \frac{1}{10} \right)}$$

-tan(1/10) > sin(1/10)

Тогда
$$x < - \pi$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \pi \wedge x < 0$$

         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x2      x1      x3      x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > - \pi \wedge x < 0$$
$$x > \pi \wedge x < 2 \pi$$

Быстрый ответ 2

    pi         3*pi 
(0, --) U (pi, ----)
    2           2   

$$x\ in\ \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\pi, \frac{3 \pi}{2}\right)$$

Быстрый ответ

  /   /           pi\     /            3*pi\\
Or|And|0 < x, x < --|, And|pi < x, x < ----||
  \   \           2 /     \             2  //

$$\left(0 < x \wedge x < \frac{\pi}{2}\right) \vee \left(\pi < x \wedge x < \frac{3 \pi}{2}\right)$$

График