tan(x/2)>=1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: tan(x/2)>=1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   /x\     
tan|-| >= 1
   \2/     

$$\tan{\left (\frac{x}{2} \right )} \geq 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\tan{\left (\frac{x}{2} \right )} \geq 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\tan{\left (\frac{x}{2} \right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\tan{\left (\frac{x}{2} \right )} = 1$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left (1 \right )}$$
Или
$$\frac{x}{2} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n + \frac{\pi}{2} + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
подставляем в выражение
$$\tan{\left (\frac{x}{2} \right )} \geq 1$$
$$\tan{\left (\frac{1}{2} \left(2 \pi n + \frac{\pi}{2} + - \frac{1}{10}\right) \right )} \geq 1$$

   /  1    pi       \     
tan|- -- + -- + pi*n| >= 1
   \  20   4        /     

но

   /  1    pi       \    
tan|- -- + -- + pi*n| < 1
   \  20   4        /    

Тогда
$$x \leq 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1

Быстрый ответ

    pi
x = --
    2 

$$x = \frac{\pi}{2}$$

Быстрый ответ 2

 pi 
{--}
 2  

$$x \in \left\{\frac{\pi}{2}\right\}$$