tan(x)<=1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: tan(x)<=1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

tan(x) <= 1

$$\tan{\left(x \right)} \leq 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\tan{\left(x \right)} \leq 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\tan{\left(x \right)} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\tan{\left(x \right)} = 1$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(1 \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
подставляем в выражение
$$\tan{\left(x \right)} \leq 1$$
$$\tan{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4} \right)} \leq 1$$

   /1    pi\     
cot|-- + --| <= 1
   \10   4 /     

значит решение неравенства будет при:
$$x \leq \pi n + \frac{\pi}{4}$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x_1

Быстрый ответ

  /   /             pi\     /pi            \\
Or|And|0 <= x, x <= --|, And|-- < x, x < pi||
  \   \             4 /     \2             //

$$\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{\pi}{4}\right) \vee \left(\frac{\pi}{2} < x \wedge x < \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     pi     
[0, --] U (--, pi)
    4      2      

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$

График