tan(x)^2<1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: tan(x)^2<1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   2       
tan (x) < 1

$$\tan^{2}{\left(x \right)} < 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\tan^{2}{\left(x \right)} < 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\tan^{2}{\left(x \right)} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\tan^{2}{\left(x \right)} = 1$$
преобразуем
$$\tan^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
$$\tan^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \tan{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 1$$
Упростить
$$w_{2} = -1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(1 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\tan^{2}{\left(x \right)} < 1$$
$$\tan^{2}{\left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} < 1$$

   2/1    pi\    
tan |-- + --| < 1
    \10   4 /    

но

   2/1    pi\    
tan |-- + --| > 1
    \10   4 /    

Тогда
$$x < - \frac{\pi}{4}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \frac{\pi}{4} \wedge x < \frac{\pi}{4}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

  /   /            pi\     /3*pi            \\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|---- < x, x < pi||
  \   \            4 /     \ 4              //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{4}\right) \vee \left(\frac{3 \pi}{4} < x \wedge x < \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     3*pi     
[0, --) U (----, pi)
    4       4       

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{3 \pi}{4}, \pi\right)$$

График