tan(x)^2-1>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: tan(x)^2-1>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   2           
tan (x) - 1 > 0

$$\tan^{2}{\left(x \right)} - 1 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\tan^{2}{\left(x \right)} - 1 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\tan^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\tan^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
преобразуем
$$\tan^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} - 1\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \tan{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 1$$
Упростить
$$w_{2} = -1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(1 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\tan^{2}{\left(x \right)} - 1 > 0$$
$$\left(-1\right) 1 + \tan^{2}{\left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} > 0$$

        2/1    pi\    
-1 + tan |-- + --| > 0
         \10   4 /    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - \frac{\pi}{4}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - \frac{\pi}{4}$$
$$x > \frac{\pi}{4}$$

Быстрый ответ

   /    pi      3*pi       pi\
And|x > --, x < ----, x != --|
   \    4        4         2 /

$$x > \frac{\pi}{4} \wedge x < \frac{3 \pi}{4} \wedge x \neq \frac{\pi}{2}$$

Быстрый ответ 2

 pi  pi     pi  3*pi 
(--, --) U (--, ----)
 4   2      2    4   

$$x\ in\ \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right)$$

График