tan(x)^3>-1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: tan(x)^3>-1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   3        
tan (x) > -1

$$\tan^{3}{\left(x \right)} > -1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\tan^{3}{\left(x \right)} > -1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\tan^{3}{\left(x \right)} = -1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\tan^{3}{\left(x \right)} = -1$$
преобразуем
$$\tan^{3}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
$$\tan^{3}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \tan{\left(x \right)}$$
Дано уравнение
$$w^{3} + 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 w + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-1}$$
или
$$w = \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

w = -1^1/3

Получим ответ: w = (-1)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = w$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = w$$
$$w = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$w_{1} = -1$$
$$w_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(\sqrt[3]{-1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(\sqrt[3]{-1} \right)}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}$$
$$x_{3} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\tan^{3}{\left(x \right)} > -1$$
$$\tan^{3}{\left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} > -1$$

    3/1    pi\     
-tan |-- + --| > -1
     \10   4 /     

Тогда
$$x < - \frac{\pi}{4}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > - \frac{\pi}{4}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

  /   /            pi\     /3*pi            \\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|---- < x, x < pi||
  \   \            2 /     \ 4              //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{2}\right) \vee \left(\frac{3 \pi}{4} < x \wedge x < \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     3*pi     
[0, --) U (----, pi)
    2       4       

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3 \pi}{4}, \pi\right)$$

График