3/(x-2)<=x (неравенство)

Укажите решение неравенства: 3/(x-2)<=x (множество решений неравенства)

Вы ввели

  3       
----- <= x
x - 2     

$$\frac{3}{x - 2} \leq x$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\frac{3}{x - 2} \leq x$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{3}{x - 2} = x$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\frac{3}{x - 2} = x$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
и -2 + x
получим:
$$\frac{3}{x - 2} \left(x - 2\right) = x \left(x - 2\right)$$
$$3 = x^{2} - 2 x$$
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$3 = x^{2} - 2 x$$
в
$$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 2$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (-1) * (3) = 16

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
Данные корни
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$\frac{3}{x - 2} \leq x$$
$$\frac{3}{-2 + - \frac{11}{10}} \leq - \frac{11}{10}$$

-30     -11 
---- <= ----
 31      10 

но

-30     -11 
---- >= ----
 31      10 

Тогда
$$x \leq -1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq -1 \wedge x \leq 3$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2

Быстрый ответ

Or(And(-1 <= x, x < 2), And(3 <= x, x < oo))

$$\left(-1 \leq x \wedge x < 2\right) \vee \left(3 \leq x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

[-1, 2) U [3, oo)

$$x \in \left[-1, 2\right) \cup \left[3, \infty\right)$$