36^(x-1/2)-7*6^(x-1)+1>=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 36^(x-1/2)-7*6^(x-1)+1>=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

  x - 1/2      x - 1         
36        - 7*6      + 1 >= 0

$$36^{x - \frac{1}{2}} - 7 \cdot 6^{x - 1} + 1 \geq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$36^{x - \frac{1}{2}} - 7 \cdot 6^{x - 1} + 1 \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$36^{x - \frac{1}{2}} - 7 \cdot 6^{x - 1} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$36^{x - \frac{1}{2}} - 7 \cdot 6^{x - 1} + 1 = 0$$
или
$$\left(36^{x - \frac{1}{2}} - 7 \cdot 6^{x - 1} + 1\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 6^{x}$$
получим
$$\frac{v^{2}}{6} - \frac{7 v}{6} + 1 = 0$$
или
$$\frac{v^{2}}{6} - \frac{7 v}{6} + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = \frac{1}{6}$$
$$b = - \frac{7}{6}$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-7/6)^2 - 4 * (1/6) * (1) = 25/36

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 6$$
Упростить
$$v_{2} = 1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$6^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(6 \right)}}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 6$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 6$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 6$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 1$$
=
$$\frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$36^{x - \frac{1}{2}} - 7 \cdot 6^{x - 1} + 1 \geq 0$$
$$- 7 \cdot 6^{\frac{9}{10} - 1} + 1 + 36^{\frac{9}{10} - \frac{1}{2}} \geq 0$$

              9/10     
     4/5   7*6         
1 + 6    - ------- >= 0
              6        
     

но

              9/10    
     4/5   7*6        
1 + 6    - ------- < 0
              6       
    

Тогда
$$x \leq 1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq 1 \wedge x \leq 6$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Быстрый ответ

Or(And(1 <= x, x < oo), x <= 0)

$$\left(1 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee x \leq 0$$

Быстрый ответ 2

(-oo, 0] U [1, oo)

$$x\ in\ \left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$

График