x>15/(x+2) (неравенство)

Укажите решение неравенства: x>15/(x+2) (множество решений неравенства)

Вы ввели

      15 
x > -----
    x + 2

$$x > \frac{15}{x + 2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x > \frac{15}{x + 2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x = \frac{15}{x + 2}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$x = \frac{15}{x + 2}$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
и 2 + x
получим:
$$x \left(x + 2\right) = \frac{15}{x + 2} \left(x + 2\right)$$
$$x^{2} + 2 x = 15$$
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} + 2 x = 15$$
в
$$x^{2} + 2 x - 15 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = -15$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (1) * (-15) = 64

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -5$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -5$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -5$$
Данные корни
$$x_{2} = -5$$
$$x_{1} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{51}{10}$$
=
$$- \frac{51}{10}$$
подставляем в выражение
$$x > \frac{15}{x + 2}$$
$$- \frac{51}{10} > \frac{15}{- \frac{51}{10} + 2}$$

-51    -150 
---- > -----
 10      31 

Тогда
$$x < -5$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -5 \wedge x < 3$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Быстрый ответ

Or(And(-5 < x, x < -2), And(3 < x, x < oo))

$$\left(-5 < x \wedge x < -2\right) \vee \left(3 < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

(-5, -2) U (3, oo)

$$x \in \left(-5, -2\right) \cup \left(3, \infty\right)$$

График