x/(x-1)>x+1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x/(x-1)>x+1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

  x          
----- > x + 1
x - 1        

$$\frac{x}{x - 1} > x + 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\frac{x}{x - 1} > x + 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{x}{x - 1} = x + 1$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\frac{x}{x - 1} = x + 1$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
-1 + x
получим:
$$\frac{x \left(x - 1\right)}{x - 1} = \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)$$
$$x = x^{2} - 1$$
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x = x^{2} - 1$$
в
$$- x^{2} + x + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 1$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (-1) * (1) = 5

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

      ___     
1   \/ 5    1 
- - ----- - --
2     2     10

=
$$- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{2}{5}$$
подставляем в выражение
$$\frac{x}{x - 1} > x + 1$$

          ___                             
    1   \/ 5    1                         
    - - ----- - --            ___         
    2     2     10      1   \/ 5    1     
--------------------- > - - ----- - -- + 1
                    1   2     2     10    
/      ___         \                      
|1   \/ 5    1     |                      
|- - ----- - -- - 1|                      
\2     2     10    /                      

       ___             
 2   \/ 5              
 - - -----          ___
 5     2      7   \/ 5 
----------- > - - -----
        ___   5     2  
  3   \/ 5    
- - - -----            
  5     2              

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x > \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$

Быстрый ответ

  /   /                   ___\     /                 ___\\
  |   |             1   \/ 5 |     |           1   \/ 5 ||
Or|And|-oo < x, x < - - -----|, And|1 < x, x < - + -----||
  \   \             2     2  /     \           2     2  //

$$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\right) \vee \left(1 < x \wedge x < \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right)$$

Быстрый ответ 2

            ___              ___ 
      1   \/ 5         1   \/ 5  
(-oo, - - -----) U (1, - + -----)
      2     2          2     2   

$$x \in \left(-\infty, - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\right) \cup \left(1, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right)$$