x<=1/x (неравенство)

Укажите решение неравенства: x<=1/x (множество решений неравенства)

Вы ввели

       1
x <= 1*-
       x

$$x \leq 1 \cdot \frac{1}{x}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x \leq 1 \cdot \frac{1}{x}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x = 1 \cdot \frac{1}{x}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$x = 1 \cdot \frac{1}{x}$$
преобразуем
$$\frac{1}{x^{2}} = 1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -2 - содержит чётное число -2 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень -2-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\left(1 x + 0\right)^{2}}}} = 1$$
$$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\left(1 x + 0\right)^{2}}}} = -1$$
или
$$x = 1$$
$$x = -1$$
Получим ответ: x = 1
Получим ответ: x = -1
или
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$
Данные корни
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$x \leq 1 \cdot \frac{1}{x}$$
$$- \frac{11}{10} \leq 1 \cdot \frac{1}{- \frac{11}{10}}$$

-11     -10 
---- <= ----
 10      11 

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq -1$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x_2      x_1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq -1$$
$$x \geq 1$$

Быстрый ответ

Or(And(x <= 1, 0 < x), x <= -1)

$$\left(x \leq 1 \wedge 0 < x\right) \vee x \leq -1$$

Быстрый ответ 2

(-oo, -1] U (0, 1]

$$x\ in\ \left(-\infty, -1\right] \cup \left(0, 1\right]$$

График