x<sqrt(x+30) (неравенство)

Укажите решение неравенства: x<sqrt(x+30) (множество решений неравенства)

Вы ввели

      ________
x < \/ x + 30 

$$x < \sqrt{x + 30}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x < \sqrt{x + 30}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x = \sqrt{x + 30}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$x = \sqrt{x + 30}$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- \sqrt{x + 30} = - x$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$x + 30 = x^{2}$$
$$x + 30 = x^{2}$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- x^{2} + x + 30 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 1$$
$$c = 30$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (-1) * (30) = 121

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 6$$

Т.к.
$$\sqrt{x + 30} = x$$
и
$$\sqrt{x + 30} \geq 0$$
то
$$x \geq 0$$
или
$$0 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{2} = 6$$
$$x_{1} = 6$$
$$x_{1} = 6$$
Данные корни
$$x_{1} = 6$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{59}{10}$$
=
$$\frac{59}{10}$$
подставляем в выражение
$$x < \sqrt{x + 30}$$
$$\frac{59}{10} < \sqrt{\frac{59}{10} + 30}$$

       ______
59   \/ 3590 
-- < --------
10      10   
     

значит решение неравенства будет при:
$$x < 6$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

Or(And(-30 <= x, x < -5), And(-5 < x, x < 6))

$$\left(-30 \leq x \wedge x < -5\right) \vee \left(-5 < x \wedge x < 6\right)$$

Быстрый ответ 2

[-30, -5) U (-5, 6)

$$x \in \left[-30, -5\right) \cup \left(-5, 6\right)$$