(x-1)/(x-3)<2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x-1)/(x-3)<2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

x - 1    
----- < 2
x - 3    

$$\frac{x - 1}{x - 3} < 2$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\frac{x - 1}{x - 3} < 2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{x - 1}{x - 3} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\frac{x - 1}{x - 3} = 2$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатель -3 + x
получим:
$$x - 1 = 2 x - 6$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 2 x - 5$$
Переносим слагаемые с неизвестным x
из правой части в левую:

-x = -5

Разделим обе части ур-ния на -1

x = -5 / (-1)

$$x_{1} = 5$$
$$x_{1} = 5$$
Данные корни
$$x_{1} = 5$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{49}{10}$$
=
$$\frac{49}{10}$$
подставляем в выражение
$$\frac{x - 1}{x - 3} < 2$$
$$\frac{-1 + \frac{49}{10}}{-3 + \frac{49}{10}} < 2$$

39    
-- < 2
19    

но

39    
-- > 2
19    

Тогда
$$x < 5$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > 5$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

Or(And(-oo < x, x < 3), And(5 < x, x < oo))

$$\left(-\infty < x \wedge x < 3\right) \vee \left(5 < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

(-oo, 3) U (5, oo)

$$x \in \left(-\infty, 3\right) \cup \left(5, \infty\right)$$