(x-5)^5*(x-7)^7*(x-8)^8>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x-5)^5*(x-7)^7*(x-8)^8>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

       5        7        8    
(x - 5) *(x - 7) *(x - 8)  > 0

$$\left(x - 5\right)^{5} \left(x - 7\right)^{7} \left(x - 8\right)^{8} > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(x - 5\right)^{5} \left(x - 7\right)^{7} \left(x - 8\right)^{8} > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x - 5\right)^{5} \left(x - 7\right)^{7} \left(x - 8\right)^{8} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(x - 5\right)^{5} \left(x - 7\right)^{7} \left(x - 8\right)^{8} = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x - 8 = 0$$
$$x - 7 = 0$$
$$x - 5 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x - 8 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 8$$
Получим ответ: x1 = 8
2.
$$x - 7 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 7$$
Получим ответ: x2 = 7
3.
$$x - 5 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 5$$
Получим ответ: x3 = 5
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = 7$$
$$x_{3} = 5$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = 7$$
$$x_{3} = 5$$
Данные корни
$$x_{3} = 5$$
$$x_{2} = 7$$
$$x_{1} = 8$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{3}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 5$$
=
$$\frac{49}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x - 5\right)^{5} \left(x - 7\right)^{7} \left(x - 8\right)^{8} > 0$$
$$\left(\frac{49}{10} - 5\right)^{5} \left(\frac{49}{10} - 7\right)^{7} \left(\frac{49}{10} - 8\right)^{8} > 0$$

1536132274256587063581    
---------------------- > 0
100000000000000000000     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < 5$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------ο-------ο-------ο-------
       x3      x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < 5$$
$$x > 7 \wedge x < 8$$

Быстрый ответ

Or(And(-oo < x, x < 5), And(7 < x, x < 8), And(8 < x, x < oo))

$$\left(-\infty < x \wedge x < 5\right) \vee \left(7 < x \wedge x < 8\right) \vee \left(8 < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

(-oo, 5) U (7, 8) U (8, oo)

$$x\ in\ \left(-\infty, 5\right) \cup \left(7, 8\right) \cup \left(8, \infty\right)$$

График