(x-7)^2>sqrt(5)*(x-7) (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x-7)^2>sqrt(5)*(x-7) (множество решений неравенства)

Вы ввели

       2     ___        
(x - 7)  > \/ 5 *(x - 7)

$$\left(x - 7\right)^{2} > \sqrt{5} \left(x - 7\right)$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(x - 7\right)^{2} > \sqrt{5} \left(x - 7\right)$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x - 7\right)^{2} = \sqrt{5} \left(x - 7\right)$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$\left(x - 7\right)^{2} = \sqrt{5} \left(x - 7\right)$$
в
$$\left(x - 7\right)^{2} - \sqrt{5} \left(x - 7\right) = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(x - 7\right)^{2} - \sqrt{5} \left(x - 7\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} - 14 x - \sqrt{5} x + 7 \sqrt{5} + 49 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -14 - \sqrt{5}$$
$$c = 7 \sqrt{5} + 49$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-14 - sqrt(5))^2 - 4 * (1) * (49 + 7*sqrt(5)) = -196 + (-14 - sqrt(5))^2 - 28*sqrt(5)

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{5} + \left(-14 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2} + 7$$
Упростить
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{5} + \left(-14 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 7$$
Упростить
$$x_{1} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{5} + \left(-14 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2} + 7$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{5} + \left(-14 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 7$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{5} + \left(-14 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2} + 7$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{5} + \left(-14 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 7$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{5} + \left(-14 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 7$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{5} + \left(-14 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2} + 7$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(- \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{5} + \left(-14 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 7\right)$$
=
$$- \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{5} + \left(-14 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{69}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x - 7\right)^{2} > \sqrt{5} \left(x - 7\right)$$
$$\left(\left(-1\right) 7 + \left(- \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{5} + \left(-14 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{69}{10}\right)\right)^{2} > \sqrt{5} \left(\left(-1\right) 7 + \left(- \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{5} + \left(-14 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{69}{10}\right)\right)$$

                                                       2         /                   __________________________________\
/                   __________________________________\          |                  /                     2            |
|                  /                     2            |          |         ___     /         /        ___\         ___ |
|         ___     /         /        ___\         ___ |  >   ___ |  1    \/ 5    \/   -196 + \-14 - \/ 5 /  - 28*\/ 5  |
|  1    \/ 5    \/   -196 + \-14 - \/ 5 /  - 28*\/ 5  |    \/ 5 *|- -- + ----- - --------------------------------------|
|- -- + ----- - --------------------------------------|          \  10     2                       2                   /
\  10     2                       2                   /    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{5} + \left(-14 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 7$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{5} + \left(-14 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 7$$
$$x > \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{5} + \left(-14 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2} + 7$$

Быстрый ответ

  /                        /              ___    \\
Or\And(-oo < x, x < 7), And\x < oo, 7 + \/ 5  < x//

$$\left(-\infty < x \wedge x < 7\right) \vee \left(x < \infty \wedge \sqrt{5} + 7 < x\right)$$

Быстрый ответ 2

                  ___     
(-oo, 7) U (7 + \/ 5 , oo)

$$x\ in\ \left(-\infty, 7\right) \cup \left(\sqrt{5} + 7, \infty\right)$$

График