x-3>x*(x-6) (неравенство)

Укажите решение неравенства: x-3>x*(x-6) (множество решений неравенства)

Вы ввели

x - 3 > x*(x - 6)

$$x - 3 > x \left(x - 6\right)$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x - 3 > x \left(x - 6\right)$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x - 3 = x \left(x - 6\right)$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x - 3 = x \left(x - 6\right)$$
в
$$- x \left(x - 6\right) + x - 3 = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$- x \left(x - 6\right) + x - 3 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$- x^{2} + 7 x - 3 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 7$$
$$c = -3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(7)^2 - 4 * (-1) * (-3) = 37

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

      ____     
7   \/ 37    1 
- - ------ - --
2     2      10

=
$$- \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{17}{5}$$
подставляем в выражение
$$x - 3 > x \left(x - 6\right)$$

      ____            /      ____     \ /      ____         \
7   \/ 37    1        |7   \/ 37    1 | |7   \/ 37    1     |
- - ------ - -- - 3 > |- - ------ - --|*|- - ------ - -- - 6|
2     2      10       \2     2      10/ \2     2      10    /

      ____   /         ____\ /       ____\
2   \/ 37    |  13   \/ 37 | |17   \/ 37 |
- - ------ > |- -- - ------|*|-- - ------|
5     2      \  5      2   / \5      2   /
   

Тогда
$$x < - \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2} \wedge x < \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

   /          ____        ____    \
   |    7   \/ 37   7   \/ 37     |
And|x < - + ------, - - ------ < x|
   \    2     2     2     2       /

$$x < \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2} \wedge - \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2} < x$$

Быстрый ответ 2

       ____        ____ 
 7   \/ 37   7   \/ 37  
(- - ------, - + ------)
 2     2     2     2    

$$x \in \left(- \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}, \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}\right)$$