(x-8)^2<(x-8)*sqrt(3) (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (x-8)^2<(x-8)*sqrt(3) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
           2             ___
    (x - 8)  < (x - 8)*\/ 3 
    (x8)2<3(x8)\left(x - 8\right)^{2} < \sqrt{3} \left(x - 8\right)
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    (x8)2<3(x8)\left(x - 8\right)^{2} < \sqrt{3} \left(x - 8\right)
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    (x8)2=3(x8)\left(x - 8\right)^{2} = \sqrt{3} \left(x - 8\right)
    Решаем:
    Перенесём правую часть уравнения в
    левую часть уравнения со знаком минус.

    Уравнение превратится из
    (x8)2=3(x8)\left(x - 8\right)^{2} = \sqrt{3} \left(x - 8\right)
    в
    (x8)23(x8)=0\left(x - 8\right)^{2} - \sqrt{3} \left(x - 8\right) = 0
    Раскроем выражение в уравнении
    (x8)23(x8)=0\left(x - 8\right)^{2} - \sqrt{3} \left(x - 8\right) = 0
    Получаем квадратное уравнение
    x216x3x+83+64=0x^{2} - 16 x - \sqrt{3} x + 8 \sqrt{3} + 64 = 0
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    x1=Db2ax_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
    x2=Db2ax_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    a=1a = 1
    b=163b = -16 - \sqrt{3}
    c=83+64c = 8 \sqrt{3} + 64
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-16 - sqrt(3))^2 - 4 * (1) * (64 + 8*sqrt(3)) = -256 + (-16 - sqrt(3))^2 - 32*sqrt(3)

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    x1=32+256323+(163)22+8x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + 8
    Упростить
    x2=256323+(163)22+32+8x_{2} = - \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 8
    Упростить
    x1=32+256323+(163)22+8x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + 8
    x2=256323+(163)22+32+8x_{2} = - \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 8
    x1=32+256323+(163)22+8x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + 8
    x2=256323+(163)22+32+8x_{2} = - \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 8
    Данные корни
    x2=256323+(163)22+32+8x_{2} = - \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 8
    x1=32+256323+(163)22+8x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + 8
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    x0<x2x_{0} < x_{2}
    Возьмём например точку
    x0=x2110x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}
    =
    110+(256323+(163)22+32+8)- \frac{1}{10} + \left(- \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 8\right)
    =
    256323+(163)22+32+7910- \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{79}{10}
    подставляем в выражение
    (x8)2<3(x8)\left(x - 8\right)^{2} < \sqrt{3} \left(x - 8\right)
    ((1)8+(256323+(163)22+32+7910))2<3((1)8+(256323+(163)22+32+7910))\left(\left(-1\right) 8 + \left(- \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{79}{10}\right)\right)^{2} < \sqrt{3} \left(\left(-1\right) 8 + \left(- \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{79}{10}\right)\right)
                                                           2         /                   __________________________________\
    /                   __________________________________\          |                  /                     2            |
    |                  /                     2            |          |         ___     /         /        ___\         ___ |
    |         ___     /         /        ___\         ___ |  <   ___ |  1    \/ 3    \/   -256 + \-16 - \/ 3 /  - 32*\/ 3  |
    |  1    \/ 3    \/   -256 + \-16 - \/ 3 /  - 32*\/ 3  |    \/ 3 *|- -- + ----- - --------------------------------------|
    |- -- + ----- - --------------------------------------|          \  10     2                       2                   /
    \  10     2                       2                   /    

    но
                                                           2         /                   __________________________________\
    /                   __________________________________\          |                  /                     2            |
    |                  /                     2            |          |         ___     /         /        ___\         ___ |
    |         ___     /         /        ___\         ___ |  >   ___ |  1    \/ 3    \/   -256 + \-16 - \/ 3 /  - 32*\/ 3  |
    |  1    \/ 3    \/   -256 + \-16 - \/ 3 /  - 32*\/ 3  |    \/ 3 *|- -- + ----- - --------------------------------------|
    |- -- + ----- - --------------------------------------|          \  10     2                       2                   /
    \  10     2                       2                   /    

    Тогда
    x<256323+(163)22+32+8x < - \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 8
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    x>256323+(163)22+32+8x<32+256323+(163)22+8x > - \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \wedge x < \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + 8
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x_2      x_1
    Решение неравенства на графике
    05-510152025-500500
    Быстрый ответ [src]
       /                 ___\
    And\8 < x, x < 8 + \/ 3 /
    8<xx<3+88 < x \wedge x < \sqrt{3} + 8
    Быстрый ответ 2 [src]
              ___ 
    (8, 8 + \/ 3 )
    x in (8,3+8)x\ in\ \left(8, \sqrt{3} + 8\right)
    График
    (x-8)^2<(x-8)*sqrt(3) (неравенство) /media/krcore-image-pods/hash/inequation/f/35/37330409f2ad47a82efec6ba7fdd3.png