(x+2)*(x-6)>2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x+2)*(x-6)>2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

(x + 2)*(x - 6) > 2

$$\left(x - 6\right) \left(x + 2\right) > 2$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(x - 6\right) \left(x + 2\right) > 2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x - 6\right) \left(x + 2\right) = 2$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$\left(x - 6\right) \left(x + 2\right) = 2$$
в
$$\left(x - 6\right) \left(x + 2\right) - 2 = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(x - 6\right) \left(x + 2\right) - 2 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} - 4 x - 14 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = -14$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (1) * (-14) = 72

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 2 + 3 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{2} + 2$$
$$x_{1} = 2 + 3 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{2} + 2$$
$$x_{1} = 2 + 3 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{2} + 2$$
Данные корни
$$x_{2} = - 3 \sqrt{2} + 2$$
$$x_{1} = 2 + 3 \sqrt{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=

        ___   1 
2 - 3*\/ 2  - --
              10

=
$$- 3 \sqrt{2} + \frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x - 6\right) \left(x + 2\right) > 2$$

/        ___   1     \ /        ___   1     \    
|2 - 3*\/ 2  - -- + 2|*|2 - 3*\/ 2  - -- - 6| > 2
\              10    / \              10    /    

/  41       ___\ /39       ___\    
|- -- - 3*\/ 2 |*|-- - 3*\/ 2 | > 2
\  10          / \10          /    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - 3 \sqrt{2} + 2$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - 3 \sqrt{2} + 2$$
$$x > 2 + 3 \sqrt{2}$$

Быстрый ответ

  /   /                     ___\     /                ___    \\
Or\And\-oo < x, x < 2 - 3*\/ 2 /, And\x < oo, 2 + 3*\/ 2  < x//

$$\left(-\infty < x \wedge x < - 3 \sqrt{2} + 2\right) \vee \left(x < \infty \wedge 2 + 3 \sqrt{2} < x\right)$$

Быстрый ответ 2

              ___             ___     
(-oo, 2 - 3*\/ 2 ) U (2 + 3*\/ 2 , oo)

$$x \in \left(-\infty, - 3 \sqrt{2} + 2\right) \cup \left(2 + 3 \sqrt{2}, \infty\right)$$