(x+2)*(x+3)>3 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x+2)*(x+3)>3 (множество решений неравенства)

Вы ввели

(x + 2)*(x + 3) > 3

$$\left(x + 2\right) \left(x + 3\right) > 3$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(x + 2\right) \left(x + 3\right) > 3$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x + 2\right) \left(x + 3\right) = 3$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$\left(x + 2\right) \left(x + 3\right) = 3$$
в
$$\left(x + 2\right) \left(x + 3\right) - 3 = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(x + 2\right) \left(x + 3\right) - 3 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} + 5 x + 3 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 5$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(5)^2 - 4 * (1) * (3) = 13

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=

        ____     
  5   \/ 13    1 
- - - ------ - --
  2     2      10

=
$$- \frac{13}{5} - \frac{\sqrt{13}}{2}$$
подставляем в выражение
$$\left(x + 2\right) \left(x + 3\right) > 3$$

/        ____         \ /        ____         \    
|  5   \/ 13    1     | |  5   \/ 13    1     |    
|- - - ------ - -- + 2|*|- - - ------ - -- + 3| > 3
\  2     2      10    / \  2     2      10    /    

/        ____\ /      ____\    
|  3   \/ 13 | |2   \/ 13 |    
|- - - ------|*|- - ------| > 3
\  5     2   / \5     2   /    
    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x > - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$

Быстрый ответ

  /   /                     ____\     /                ____    \\
  |   |               5   \/ 13 |     |          5   \/ 13     ||
Or|And|-oo < x, x < - - - ------|, And|x < oo, - - + ------ < x||
  \   \               2     2   /     \          2     2       //

$$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}\right) \vee \left(x < \infty \wedge - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} < x\right)$$

Быстрый ответ 2

              ____             ____     
        5   \/ 13        5   \/ 13      
(-oo, - - - ------) U (- - + ------, oo)
        2     2          2     2        

$$x \in \left(-\infty, - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}\right) \cup \left(- \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}, \infty\right)$$