x+8/x<6 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x+8/x<6 (множество решений неравенства)

Вы ввели

    8    
x + - < 6
    x    

$$x + \frac{8}{x} < 6$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x + \frac{8}{x} < 6$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x + \frac{8}{x} = 6$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$x + \frac{8}{x} = 6$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
и x
получим:
$$x \left(x + \frac{8}{x}\right) = 6 x$$
$$x^{2} + 8 = 6 x$$
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} + 8 = 6 x$$
в
$$x^{2} - 6 x + 8 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -6$$
$$c = 8$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-6)^2 - 4 * (1) * (8) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 2$$
Данные корни
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{19}{10}$$
=
$$\frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$x + \frac{8}{x} < 6$$
$$\frac{19}{10} + \frac{8}{\frac{19}{10}} < 6$$

1161    
---- < 6
190     

но

1161    
---- > 6
190     

Тогда
$$x < 2$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 \wedge x < 4$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Быстрый ответ

Or(And(-oo < x, x < 0), And(2 < x, x < 4))

$$\left(-\infty < x \wedge x < 0\right) \vee \left(2 < x \wedge x < 4\right)$$

Быстрый ответ 2

(-oo, 0) U (2, 4)

$$x \in \left(-\infty, 0\right) \cup \left(2, 4\right)$$