x*(x-a)<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x*(x-a)<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

x*(x - a) < 0

$$x \left(- a + x\right) < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x \left(- a + x\right) < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x \left(- a + x\right) = 0$$
Решаем:
Раскроем выражение в уравнении
$$x \left(- a + x\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$- a x + x^{2} = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = - a$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-a)^2 - 4 * (1) * (0) = a^2

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2}}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2}}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2}}}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2}}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2}}}{2} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2}}}{2} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$x \left(- a + x\right) < 0$$

/       ____     \ /       ____         \    
|      /  2      | |      /  2          |    
|a   \/  a     1 | |a   \/  a     1     |    
|- + ------- - --|*|- + ------- - -- - a| < 0
\2      2      10/ \2      2      10    /    

/              ____\ /          ____    \    
|             /  2 | |         /  2     |    
|  1    a   \/  a  | |  1    \/  a     a| < 0
|- -- + - + -------|*|- -- + ------- - -|    
\  10   2      2   / \  10      2      2/    

Тогда
$$x < \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2}}}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2}}}{2} \wedge x < \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2}}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2