x^4>=16 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x^4>=16 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 4      
x  >= 16

$$x^{4} \geq 16$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x^{4} \geq 16$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{4} = 16$$
Решаем:
Дано уравнение
$$x^{4} = 16$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = 2$$
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = -2$$
или
$$x = 2$$
$$x = -2$$
Получим ответ: x = 2
Получим ответ: x = -2
или
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = 16$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 16$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = 2$$
$$z_{3} = - 2 i$$
$$z_{4} = 2 i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$
Данные корни
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{4} \geq 16$$
$$\left(- \frac{21}{10}\right)^{4} \geq 16$$

194481      
------ >= 16
10000       

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq -2$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x_2      x_1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq -2$$
$$x \geq 2$$

Быстрый ответ

Or(And(2 <= x, x < oo), And(x <= -2, -oo < x))

$$\left(2 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq -2 \wedge -\infty < x\right)$$

Быстрый ответ 2

(-oo, -2] U [2, oo)

$$x\ in\ \left(-\infty, -2\right] \cup \left[2, \infty\right)$$

График