x^2-x>1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x^2-x>1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 2        
x  - x > 1

$$x^{2} - x > 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x^{2} - x > 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} - x = 1$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} - x = 1$$
в
$$x^{2} - x - 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (-1) = 5

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=

      ___     
1   \/ 5    1 
- - ----- - --
2     2     10

=
$$- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{2}{5}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} - x > 1$$

                2                     
/      ___     \          ___         
|1   \/ 5    1 |    1   \/ 5    1     
|- - ----- - --|  - - - ----- - -- > 1
\2     2     10/    2     2     10    

                 2            
      /      ___\      ___    
  2   |2   \/ 5 |    \/ 5  > 1
- - + |- - -----|  + -----    
  5   \5     2  /      2      

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x > \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$

Быстрый ответ

  /   /                   ___\     /              ___    \\
  |   |             1   \/ 5 |     |        1   \/ 5     ||
Or|And|-oo < x, x < - - -----|, And|x < oo, - + ----- < x||
  \   \             2     2  /     \        2     2      //

$$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\right) \vee \left(x < \infty \wedge \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} < x\right)$$

Быстрый ответ 2

            ___           ___     
      1   \/ 5      1   \/ 5      
(-oo, - - -----) U (- + -----, oo)
      2     2       2     2       

$$x \in \left(-\infty, - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}, \infty\right)$$

График