x^2-x-1<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x^2-x-1<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 2            
x  - x - 1 < 0

$$x^{2} - x - 1 < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x^{2} - x - 1 < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} - x - 1 = 0$$
Решаем:
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (-1) = 5

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=

      ___     
1   \/ 5    1 
- - ----- - --
2     2     10

=
$$- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{2}{5}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} - x - 1 < 0$$

                2                         
/      ___     \          ___             
|1   \/ 5    1 |    1   \/ 5    1         
|- - ----- - --|  - - - ----- - -- - 1 < 0
\2     2     10/    2     2     10        

                 2            
      /      ___\      ___    
  7   |2   \/ 5 |    \/ 5  < 0
- - + |- - -----|  + -----    
  5   \5     2  /      2      

но

                 2            
      /      ___\      ___    
  7   |2   \/ 5 |    \/ 5  > 0
- - + |- - -----|  + -----    
  5   \5     2  /      2      

Тогда
$$x < - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \wedge x < \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Быстрый ответ

   /          ___        ___    \
   |    1   \/ 5   1   \/ 5     |
And|x < - + -----, - - ----- < x|
   \    2     2    2     2      /

$$x < \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \wedge - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} < x$$

Быстрый ответ 2

       ___        ___ 
 1   \/ 5   1   \/ 5  
(- - -----, - + -----)
 2     2    2     2   

$$x \in \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right)$$

График