x^2+x-1>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x^2+x-1>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 2            
x  + x - 1 > 0

$$x^{2} + x - 1 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x^{2} + x - 1 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} + x - 1 = 0$$
Решаем:
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (-1) = 5

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Упростить
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
Упростить
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{3}{5}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} + x - 1 > 0$$
$$\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{3}{5}\right) - 1 + \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{3}{5}\right)^{2} > 0$$

                   2            
      /        ___\      ___    
  8   |  3   \/ 5 |    \/ 5  > 0
- - + |- - - -----|  - -----    
  5   \  5     2  /      2      

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x_2      x_1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x > - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$

Быстрый ответ

  /   /                     ___\     /                ___    \\
  |   |               1   \/ 5 |     |          1   \/ 5     ||
Or|And|-oo < x, x < - - - -----|, And|x < oo, - - + ----- < x||
  \   \               2     2  /     \          2     2      //

$$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}\right) \vee \left(x < \infty \wedge - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} < x\right)$$

Быстрый ответ 2

              ___             ___     
        1   \/ 5        1   \/ 5      
(-oo, - - - -----) U (- - + -----, oo)
        2     2         2     2       

$$x\ in\ \left(-\infty, - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}\right) \cup \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}, \infty\right)$$

График