x^2+x-1<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x^2+x-1<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 2            
x  + x - 1 < 0

$$x^{2} + x - 1 < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x^{2} + x - 1 < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} + x - 1 = 0$$
Решаем:
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (-1) = 5

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=

        ___     
  1   \/ 5    1 
- - - ----- - --
  2     2     10

=
$$- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{3}{5}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} + x - 1 < 0$$

                  2                           
/        ___     \            ___             
|  1   \/ 5    1 |      1   \/ 5    1         
|- - - ----- - --|  + - - - ----- - -- - 1 < 0
\  2     2     10/      2     2     10        

                   2            
      /        ___\      ___    
  8   |  3   \/ 5 |    \/ 5  < 0
- - + |- - - -----|  - -----    
  5   \  5     2  /      2      

но

                   2            
      /        ___\      ___    
  8   |  3   \/ 5 |    \/ 5  > 0
- - + |- - - -----|  - -----    
  5   \  5     2  /      2      

Тогда
$$x < - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \wedge x < - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Быстрый ответ

   /            ___          ___    \
   |      1   \/ 5     1   \/ 5     |
And|x < - - + -----, - - - ----- < x|
   \      2     2      2     2      /

$$x < - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \wedge - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} < x$$

Быстрый ответ 2

         ___          ___ 
   1   \/ 5     1   \/ 5  
(- - - -----, - - + -----)
   2     2      2     2   

$$x \in \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right)$$